Bentuk Pangkat, akar, dan Logaritma

Download Link : Click Here

BAB I

Standar Kompetensi : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat,

akar, dan logaritma.

Kompetensi Dasar : Menggunakan aturan pangkat,akar,dan logaritma

A. BENTUK PANGKAT

Indikator : Menyederhanakan bentuk pangkat bulat positif sesuai dengan sifat – sifat

pangkat bulat positif.

Bentuk pangkat yang akan dibahas pada pelajaran ini adalah pangkat bulat positif,

pangkat bulat negatif dan pangkat nol.

1. Pangkat Bulat Positif

Definisi :

Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 maka aⁿ

( dibaca a pangkat n ) adalah hasil perkalian n buah faktor yang setiap faktornya

sama.

atau aⁿ = a x a x a x a x ... x a Keterangan :

a : bilangan pokok

Sebanyak n faktor n : pangkat / eksponen

Contoh : 5³ = 5 x 5 x 5

Bentuk 5³ maka 3 : pangkat atau eksponen

5 : bilangan pokok/basis/dasar

5³: bilangan berpangkat

Sifat – sifat bilangan berpangkat bulat positi

a. a^m . aⁿ = a^m+n

Contoh : 1. 4² . 4³ = 4²⁺³

= 4⁵

2. a³ . a⁷ = a³⁺⁷

b. a

0 , m > n

Contoh : 1.

c. ( a^m )ⁿ = a^m.n

Contoh soal : 1. ( 5³ )² = 5^3x2 = 5⁶

2. ( a² )⁴ = a^2x4 = a⁸

d. ( a.b )ⁿ = aⁿ . bⁿ

Contoh : 1. ( 3a )³ = 3³. a³

2. ( 5 x )² = 5² . x²

e. = , b

Contoh :1.

Latihan 1

Jawablah dengan singkat , jelas dan benar !

1. Sederhanakan

a. 2⁵ . 2⁴ c. ( a³ )⁵ e. ( 4³ . 3² )⁶ g. ( x³ . x⁴ )⁵

b. 7⁶ : 7³ d. ( a³ b⁵ )² f. ( a⁶ : a⁴ )³ h.

2. Sederhanakan

a. ( 3⁶ a³ b⁴ ) ( 3⁴ a² b⁵ ) b. ( 7⁵ x⁹ y⁸ ) : ( 7 x³ y⁶ )

3. Sederhanakan

4. Sederhanakan

5. Sederhanakan

2. Pangkat Nol dan Pangkat Bulat Negatif

Indikator : Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan

sebaliknya.

a. Pangkat Nol

Dari sifat bilangan berpangkat

, a

0 untuk m = n maka

, sedangkan

maka a⁰ = 1, a 0

b. Pangkat Bulat Negatif

Menurut sifat a^m . aⁿ = a^m+n , a

0 untuk m = -n maka :

a^-n . aⁿ = a^-n+n = a⁰ = 1

a^-n . aⁿ = 1

aⁿ =

atau a^-n =

; a

Contoh : 1. 2^-3 =

Secara lengkap sifat – sifat bilangan berpangkat bilangan bulat untuk a, b

R ; m,n

B ,a

, b

adalah sebagai berikut :

1. a^m . aⁿ = a^m+n 5. = , b

2. 6. a^-n =

4. ( a.b )ⁿ = aⁿ . bⁿ 7. a⁰ = 1

Latihan 2

1. Sederhanakan dan tulislah dengan pangkat positif

a. x^-4y³ c.

e. 2 ( x – 3y )^-2

b. a^-2 b⁵d.

2. Sederhanakan dan tulislah dengan eksponen positif

3. Hitunglah

a. 27

b. 64

d. ( 125 )

4. Sederhanakan dan tulislah dengan pangkat positif

5. Sederhanakan dan tulis dengan pangkat positif

6. Diketa hui a = 16 dan b = 27 hitunglah nilai

B. BENTUK AKAR

Indikator : Menyederhanakan bentuk akar

1. Bilangan Rasional dan irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan

, a dan b

0 dan B = Bilangan bulat. Contoh bilangan rasional :

, 6 , -

, 0,333...,

dan

sebagainya.Contoh bukan bilangan rasional atau Irasional :

, log 5 , 1,414235...

sebab bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan bentuk

dengan a, b

Bentuk

2. Menyederhanakan bentuk akar

Contoh bentuk akar :

dapat ditulis dalam bentuk akar yang

lebih sederhana. Cara Menyederhanakan bentuk akar :dengan memfaktorkan bilangan

dibawah tanda akar menjadi dua bilangan bulat dengan salah satu bilangannya berupa

bilangan kuadrat murni selain satu.

Sifat – sifat bentuk akar :

6. m

+ n

= ( m + n )

7. m

- n

= ( m - n )

8. m

+ m

= m (

)

Contoh 1. Sederhanakan

Jawab

Contoh 2. Sederhanakan

Jawab

= 5

+ 4

= 9

Contoh 3. Hitunglah

Jawab :

Misal x =

x²= 30 +

x²= 30 + x

x² - x – 30 = 0

( x + 5 ) ( x – 6 ) = 0

x = -5 ( t m ) atau x = 6 Jadi yang memenuhi adalah 6

3. Menarik akar Kuadrat dari Pengkuadratan

Perhatikan : (

= (

)² + 2

+ (

)²

= a + 2

+ b

= ( a + b ) + 2

dengan syarat a > b

Dengan cara yang sama maka :

dengan syarat a > b

Contoh 1.

Contoh 2

Latihan 3

1. Sederhanakan :

c. 7

2. Sederhanakan

a. 2

+ 3

- 5

c. 3

d. 4

3. Sederhanakan

c. ( 5 + 2

) ( 5 - 2

) e.(

d. (

f. (

4. Jika m = 2

dan n = 2

sederhanakan :

a. 2m + 2n c. 3mn e. m² + n²

b. 5m – 5n d. m² – n² f. 2 (m² + n² )

5. Hitunglah

6. Sederhanakan

c .

7. Suatu persegi panjang mempunyai panjang ( 7

- 3

)cm dan lebar ( 2

) cm

Hitunglah luas dan keliling persegi panjang nyatakan dalam bentuk paling sederhana

4. Merasionalkan Penyebut Pecahan bentuk akar

Indikator : Merasionalkan bentuk akar

Merasionalkan penyebut adalah membuat penyebut menjadi bentuk rasional.Hal ini

dilakukan untuk mempermudah perhitungan.

Perhatikan sifat :

2. (

a – b

3. (

4. (

a. Pecahan bentuk dengan b > 0

Cara merasionalkan penyebut pecahan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang

dan penyebut pecahan dengan

sehingga diperoleh penyebut rasional.

Contoh 1 : Sederhanakan

Jawab :

Contoh 2 : Sederhanakan

Jawab :

b. Pecahan Bentuk

Cara merasionalkan penyebut pecahan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang dan

penyebut pecahan dengan akar sekawan dari penyebut sehingga diperoleh penyebut

rasional. Bentuk akar sekawan dari a + adalah a -

adalah

Contoh 1 Sederhanakan

Jawab.

Contoh 2 Sederhanakan

Jawab.

c. Pecahan Bentuk

Cara menyelesaikan penyebut pecahan bentuk ini adalah dengan mengalikan pembilang dan

penyebut dengan akar sekawan dari penyebut sehingga diperoleh penyebut rasional

Contoh Sederhanakan

Jawab.

Latihan 4

1. Rasionalkan penyebut pecahan berikut :

2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut:

3. Rasionalkan penyebut pecahan

4. Sederhanakan dan rasionalkan

5. Sederhanakan

6. Sebuah balok mempunyai volume 64 Cm³. Jika luas alas balok ( 3 +

) Cm². Tentukan

Tinggi balok dalam bentuk paling sederhana.

7. Sebuah persegi panjang memiliki panjang ( 3 +

) dan lebar ( 3 -

). Tentukan

panjang diagonal persegi panjang tersebut.

8. Jika diketahui p =

dan q =

Carilah nilai :

a. p² + q² b. . p² - q²

5. Persamaan Pangkat Sederhana

Indikator : Menyelesaikan persamaan pangkat sederhana

Untuk menyelesaikan persamaan pangkat dengan a

R, a

0 jika :

a^f(x)= a^k maka f(x) = k

a^f(x) = a^g(x) maka f(x) = g (x)

Contoh 1 : Selesaikan persamaan 3^2x-6 = 81

Jawab. 3^2x-6 = 81

3^2x-6 = 3⁴

2x-6 = 4

2x = 10

x = 5

Contoh 2 : Selesaikan persamaan

Jawab.

-4x – 1 = 6x – 6

10x= 5

x =

Latihan 5

1. Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berikut

a. 6^x+1 = 36 c. 25^2x-1= (

)^x e.

b. 9^x+1 = 27^3x-4 d. 36^2x-3= 6

2. Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berukut

a. 4^2x-6 = 2 . 8^x+1 c.

3. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan berikut

a. 2^x+5 + 2^5-x = 64 b. 3^x+2 + 9^x+1 = 810

LOGARITMA

Indikator : Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya

Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan atau eksponen. Sehingga ^aLog x = n artinya

x = aⁿ

^aLog x = n artinya x = aⁿ

Keterangan : a = Bilangan pokok / basis logaritma , a > 0, a

x = Numerus, bilangan yang dicari logaritmanya, x > 0

n = Hasil Logaritma , nilainya bisa positif, negatif atau nol

Contoh 1 : Nyatakan dalam bentuk logaritma 3⁴ = 81

Jawab. 3⁴ = 81

³Log 81 = 4

Contoh 2 : Nyatakan dalam bentuk pangkat ⁵Log 25 = 2

Jawab. ⁵Log 25 = 2

5² = 25

Sifat – sifat Logaritma

Indikator : Melakukan operasi aljabar dalam bentuk logaritma.

1. ^aLog x + ^aLog y = ^aLog (x.y)

Contoh :

1. Sederhanakan ²Log 4 + ²Log 8

Penyelesaian : ²Log 4 + ²Log 8 = ²Log ( 4 . 8 )

= ²Log 32

= 5

2. Sederhanakan ³Log

+ ³Log 81

Penyelesaian : ³Log

+ ³Log 81 = ³Log (

. 81 )

= ³Log 9

= 2

2. ^aLog x – ^aLog y = ^aLog

Contoh :

1. Sederhanakan ²Log 12 – ²Log 3

Penyelesaian : ²Log 12 – ²Log 3 = ²Log

= ²Log 4

= 2

2. Sederhanakan Log 1.000 – Log 100

Penyelesaian : Log 1.000 – Log 100 = log

= Log 10

= 1

3. ^aLog xⁿ = n . ^aLog x

Contoh :

1. Sederhanakan 2 Log 3 + 4 Log 3

Penyelesaian : 2 Log 3 + 4 Log 3 = Log 3² + Log 3⁴

= Log 9 + Log 81

= Log 9 . 81

= Log 729

2. Sederhanakan 2Log a + 2 log b

Penyelesaian : 2Log a + 2 log b = Log a² + Log b²

= Log a² . b²

= Log (ab)²

Catatan : 1. Log²x = Log x . Log x = ( Log x )² , Log x² = 2 Log x , Log²x

Log x²

2. Log ^-1x =

, Log x^-1 = Log

= - Log x , Log ^-1x

Log x^-1

4 . ^aLog x =

Contoh :

1. Sederhanakan ⁸Log 16

Penyelesaian : ⁸Log 16 =

2. Sederhanakan ²⁷ Log 81

Penyelesaian : ²⁷ Log 81 =

5. a

= x

Contoh :

1. Hitunglah 4

Penyelesaian : 4

= ( 2² )

= ( 2

)²

= 5²

= 25

Log x^m =

. ^a Log x

Contoh :

1. Sederhanakan ⁹ Log 16

Penyelesaian ⁹ Log 16 =

Log 4²

. ³Log 4

= ³Log 4

Dari uraian diatas disimpulkan SIFAT – SIFAT LOGARITMA sebagai berikut :

1. ^aLog x + ^aLog y = ^aLog x . y

2. ^aLog x – ^aLog y = ^aLog

3. ^aLog xⁿ = n . ^aLog x

4. ^aLog x =

5. a

= x

Log x^m =

. ^a Log x

7. ^aLog x =

8. ^aLog

= - ^aLog x

Log x = - ^aLog x

10. ^aLog x . ^xLog y = ^aLog y

11. ^a Log aⁿ= n

12. ^aLog 1 = 0

Latihan Para Ulangan Harian

I. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat

1. Diantara pernyataan berikut benar , kecuali….

A. a^p . a^q = a^p+q c.

B. (a^p)^q = a^pq d.

2. Bentuk sederhana dari

= ....

3. Nilai dari 16 ^0,25 + ( 0,125 )^{- 1} = ....

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

4. Bentuk sederhana dari

A. 81 B. 27 C. 9 D.

5. Bentuk

A. a² b^-3 B. a^-3 – b^-3 C. a³ + b³ D. a² – b² E. a³ – b²

6. Diketahui p = a

. b

Nilai p jika a = 4 dan b = 8 adalah....

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10

7. Nilai dari 5

A. 28

B. 26

C. 24

D. 22

E. 20

8. Bentuk (

ekuivalen dengan ....

A. 2

+ 3

D. 3 + 3

+ 2

B. 2

+ 3

E. 3 + 5

C. 3

9. Nilai dari

= ....

10. Nilai dari

11. Bentuk

A. 1 B. 25 - 4

C. 5 + 4

D. 3 - 20

E. 11 + 2

+ 4

12. Diketahui persamaan 3^-2 = x +

nilai x yang memenuhi adalah....

A. 3 + 2

B. 2 - 3

C. 2 + 3

13. Nilai x yang memenuhi persamaan 3 x^0,4 – 9

maka 3x – x² adalah....

A.-18 B. -9 C. 0 D. 9 E. 18

14. Notasi ²Log 16 = x dapat ditulis dalam notasi pangkat menjadi …

A. x² = 16 B. 2^x = 16 C. 2x = 16 D. 16² = x E. 16^x = 2

15. Nilai dari ³ Log

= ....

A. -2 B. -3 C. -4 D. -5 E. -6

16. Nilai dari Log p + Log q – Log pq = ....

A. 10 pq B. p + q C. 10 ( p+q ) D. pq E. 0

17. Nilai dari ⁵Log ( 3

) + ⁵Log ( 3

) = ....

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4

18. Nilai dari

Log b .

Log c .

Log a = ....

B. a + b+c C.

D. abc E. -1

19. Nilai dari 9

- 2

= ....

A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 E. 7

20.Diketahui ³Log 5 = p dan ⁵Log 7 = q maka ⁵Log63 = ....

E. 2 pq

21.Nilai x yang memenuhi persamaan

adalah....

B. 2 C. 2

D. 4 E. 4

22. Nilai dari c

. ( abc )

dengan a,b,c > 0 dan ab

1 adalah….

A. ab B. ac C. bc D.abc E. a+b+c

23. Jika f(x) =

maka nilai f(x) + f(

) = ....

A. – ³Log x B. ³Log x C. 2 D. 1 E. -1

24. Persamaan ⁴Log( 2x² – 4x + 16 )= ²Log (x+2) mempunyai penyelesaian x₁ dan x₂ jika x₁> x₂

maka nilai x₁² - x₂² = ....

A. 30 B. 32 C. 36 D. 38 E. 42

25. Nilai x yang memenuhi persamaan ^(3x+2)Log 27 = ⁵Log 3 adalah....

A. 42 B. 41 C. 39 D. 37 E. 35

II. ESSAY

Jawablah dengan benar !

1. Tentukan nilai dari :

a. P = 4q² r² jika q =

dan r = 1

b.Q = 2 a

jika a = 100 dan b = 8

jika a = 64

2. Sederhanakan bentuk dibawah ini !

3. Rasionalkan penyebut pecahan dibawah ini!

4. a. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3^{x + 1} = 2^{x - 1}

b. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan ^2,5 Log x + ^0,4 Log ( x-1 ) = 1

c. Jika Log

= - 48 hitunglah Log

5. Diketahui 1 +

Buktikan bahwa a + b = c

Translate Here

Bentuk Pangkat, akar, dan Logaritma

0 comments:

Post a Comment

Most Hunted

Popular Posts

Followers

Animated Shahadah

Blog Archive

Total Pageviews